题目
设 阶矩阵 的每一行、每一列的元素之和都为零，证明： 的每个元素的代数余子式都相等。
证明
记 ，则条件等价于：
考虑 的秩：
情形 1：。此时 的所有 阶子式均为零，故每个元素的代数余子式 ，显然都相等。
情形 2：。齐次方程组 的解空间维数为 ，而 是它的一个非零解，因此解空间由 张成。
由伴随矩阵的性质：
因为 ，故 ，从而上式为零矩阵。因此 的每一列都是 的解，即都与 成比例。即存在常数 使得
这说明 同一列中的所有代数余子式相等（注意伴随矩阵元素的下标转置）。
同理，由列和为零得 。考虑
可知 的每一行都是 的倍数，即存在常数 使得
即 同一行中的所有代数余子式也相等。
综合以上两点：所有代数余子式既同行相等又同列相等，从而全部彼此相等。
