保险负债评估的基本定理及其在寿险公司估值中的应用

最近30年在美国和欧洲的寿险行业，关于保险负债公允价值的讨论成了热门话题， 研究者从不同角度提出了各种不同的评估方法，但仍然没有达成共识。本文给出了一个非常直观和简洁的答案，我认为是一个完美且合理的解决方案，并且也十分灵活实用，可以满足不同投资者的需求。

第一部分，受2000年发表在美国SOA杂志上一篇论文的启发，我们推导出了保险负债评估的基本定理。这个定理揭示了寿险公司价值评估和准备金之间的直接关系，本质上是一个代数恒等式，所以对任何准备金体系和贴现率曲线都成立。 

第二部分，首先在合理的假设下，我们证明了基本定理中的MVA就是期初会计准备金。这个结论非常有意义，根据这个结论，我们从以上的基本定理推导出保险负债公允价值的评估公式。 

第三部分，我们从基本定理出发，引伸出MDEV的概念，目前中国偿二代下的內含价值和欧洲所流行的MCEV都可视为MDEV的特殊情景。考虑到在实际评估工作中的应用，我们给出了税后MDEV的基本定理。 

第四部分，首先通过两个具体的保险负债例子，讨论和对比了不同假设下MDEV 的结果以及和MCEV结果的对比。最后我们给出了寿险公司整体估值的四种方法， 其中最后一个简洁的方法是我七八年前提出来的。 

2000年，林肯国民公司（Lincoln National Corp）的Luke N.Girard在SOA杂志上发表了一篇论文：“Market value of Insurance Liabilities: Reconciling The Actuarial Appraisal and Option Pricing Methods”。

1994年我在林肯国民工作时，文章作者发现了这两种评估方法之间的等价关系，但一直无法给出严格的证明。我经过半个月的努力，终于用数学归纳法给出了严格的证明。1994年底我离开林肯国民后，文章作者又将我证明的税率为零下的特殊情景推广到含所得税的一般情景。

在不考虑企业所得税（或假设税率为零）的情况下，论文的主要结论如下：

???=??+（???−???）

这里的RS是required surplus ，这里MVA中的资产仅仅是支持准备金的资产，负债现金流?_?包含要求利润的调整项。需要指出的是，这个等式的成立并不需要假设随机利率的模型是风险中性的，事实上对随机利率模型中的任何一个利率情形，上述公式都是成立的。

今年三月份，在研究上述论文和IFRS17中公允价值法的关系时，发现了以上公式的一个变种，我们称之为保险负债评估的基本定理，这个定理揭示了寿险公司价值评估和准备金之间的关系，并且在任何准备金体系和贴现率曲线下都能成立。

首先，我们定义在证明基本定理中所需要的数学符号：

简写为：

其中：

关键点：

1.计算MVA和MVL的贴现率曲线必须完全相同；

2.基本定理对任何准备金体系和要求资本模型都成立；

我们用数学归纳法（backward induction）证明以下公式：

在证明过程中，我们给出了公式中每个变量的定义。为了方便阅读和理解，我们在公式加D代表定义，加A代表推导出来的公式。

这里我们需要假设非固收类资产都是交易类资产，并且固收类资产都用摊余成本，那么，

这里我们定义：

根据定义 

基于归纳法假设，基本定理在 ? 时刻成立

由此可见，基本定理在 t-1 时刻也成立，根据数学归纳法，证明完毕。

以下我们以交三保十的年金产品为例，来验证基本定理。产品期限只有十年，我们的模型是年度的，正好展示一个完整的十年期限的模型，便于读者自己建立模型时对照和参考。 

在这个例子中我们假设 ???_?=???_?，从第二部分的讨论中，我们可以看出这个假设的合理性。根据模型中的假设，???_?=???_? 。 

在基本定理中 

要求利润??_?的第一部分可以视为对要求资本的补偿，第二部分是对会计准备金下未释放剩余边际的补偿。注意到基本定理中的 ???_? 不含 ??_?，所以基本定理例子中的公式没有出现在原始SOA论文中循环引用的现象。 

基本定理中的MVA是未来资产端现金流?_?的现价（present value)。

?_?包含两类现金流，一是资产的内部现金流，包括利息、满期和再投资的现金流；二是外部现金流，因为我们要求在未来每个评估时刻t，BVA=BVL，所以资产端多出的现金流要划出到资本账户S（这就是我们所选择的某个特定准备金体系下的净资产），而不足的部分要由资本账户的现金流来补上。

那么，这个MVA和对应期初负债BVL的期初资产BVA的market value之间有什么联系？ 

对于期初资产组合A*，我们引进一个新的概念PVA*，这里PVA*代表双重意思：一是指用远期利率?_?贴现后的现值，相当于MVA*；二是代表t=0时刻的BV，以后的投资收益是基于PVA*的溢价/折价来摊销，相当于将所有资产在t=0时刻卖了以后，又以相同的market value买了回来。

由此，我们定义 NS (new surplus)如下，

NS=PVA*-BVL；PVA=BVA=BVL 

由此，我们可以确认对应期初准备金BVL的资产A，在第二部分的证明中， 

投资收益 Ⅱ_?=?_?+Δ???_?−1(D1)

目前偿二代EV模型中的投资收益是用5%（上市公司）乘以准备金，并不和公司实际资产的收益率挂钩，理论上会产生很多问题。这里我们采用一个更加合理的假设， 

投资收益 Ⅱ_?=?_?∗???_?−1=?_?∗ ???_?−1 

这里BVA是指固收类资产的摊余成本，我们假设没有交易类的固收类资产，这个公式对于固收类投资是符合市场一致性原则的。对于权益类投资，根据市场中性的原则，任何投资都不存在无风险套利，这个假设也是非常合理的。 

将以上投资收益率公式和公式(D1)相结合，我们得到 

这和第三部分中MVA_t的递推公式完全一样，所以

所以基本定理可以重新表述为 

其中 

这个公式可以简写为： 

我们也可以用精算准备金中大家更为熟悉的符号来表达: 

???=??₀+(???−???)−???? 

首先，我们定义A*是包含期初要求资本??₀的资产，为了避免和基本定理证明中的MVA混淆，我们用MV(A*)和MV(A)分别代表A*和A的市场价值。因为资本市场的有效性，资产的市场价值是唯一的，所以也可以称之为公允价值。 

而负债公允价值的定义来源于以下公式：

 ??? = ??(?∗) − ??? 

根据上一页中基本定理的推论，我们有

所以

上述保险负债公允价值的评估公式是基本定理的简单推论，其中最关键的假设是未来（盈余资产之外的）投资资产的收益率等于未来现金流的远期贴现率。 

如果资产和负债现金流是完全独立的，那么资产端和负债端完全可以分开独立评估。例如传统寿险和健康险，负债现金流是不受资产端的影响。 

对于分红险和万能险，目前万能结算利率和产品的分红水平基本上也不受公司投资收益率的影响，或者影响比较小。但在未来利率下行的预期下，并且相应的监管政策也越来越严格，未来万能险和分红险的现金流会受到投资端的影响。目前，在偿二代下这两个险种未来的现金流是和未来评估利率水平挂钩的。在保险负债评估时，在我们所选择的贴现率曲线下，可以仿照偿二代中的方法来预测未来的负债现金流，那么上述负债评估公式仍然成立。 

目前中国还有期权的资产相当少，虽然大部分保险负债隐含着客户的选择权，但目前这个选择权在目前的精算评估中都被忽略了。举例来说，如果未来利率明显上升，现有产品的退保率也会有所上升，反之亦然。对于含有期权资产的负债评估，需要用到随机利率模型。在每个随机利率情景下，我们需要预测未来资产和负债的现金流，而负债现金流中最关键的假设是未来的退保率，这需要用到动态退保率模型，目前国内尚未开始这方面的研究。因为基本定理和上述负债评估公式在每个随机利率情景下都成立，加权平均后仍然成立。 

这里我们定义一个新的概念MDEV，就是modified embedded value的缩写，中文可称为修正后内含价值。MDEV模型和我们常用的EV模型有以下两个重要的差异： 

（1）在计算会计利润和可分配盈余DE时，投资收益是基于未来一年期的远期利率，也就是计算MVL的贴现率； 

（2）所有的期初资产价值都是基于市场价值MV=PVA*，无论资产分类时是AFS还是HTM资产，并由此计算盈余NS，所以资产分类不会影响公司的MDEV。 

根据基本定理，我们有 

我们通常所说的EV是一个税后的概念，所以我们也可以定义含税的MDEV。 

假设所得税率未来每年都是? ，那么 

??_?也需要重新定义： 

CoRC 是 cost of required capital，对应着??_?公式中的第一项，注意这里定义的CoRC是一个税前的概念，而EV中的COC是一个税后的概念。CoTM 是 cost of total margin，对应着??_?公式中的第二项，那么 

用几乎同样的方法，我们可以证明以下含税的公式： 

目前中国的所得税税率为25%，所以 

在基本定理中，如果资本回报率k和盈余资产回报率都不是常数，基本定理也是成立的，并且用几乎相同的方法可以很容易证明。所以我们可以选择在 t 时刻，?_?=?_?; ?_?=?_?。在这个选择下很容易看出，CoC和要求资本??_?都等于0。所以 CoRP为0，因此我们有 

注意到 S = FS + RS = NS。在MCEV的官方文件（CFO Forum）中，有以下定义： 

MCEV模型中的贴现率和投资收益率都是基于无风险利率。在欧洲，因为国债利率常常为负数，保险公司也会用swap rate。在中国，可以用国债或金融债利率曲线。 

因为在每个时间段的投资收益率和贴现率都是?_?，所以CoRP = 0。因此 

显然，这个公式对传统险是成立的，如果我们不考虑MCEV中最后两项难以估算的风险，那么，MDEV = MCEV，所以我们说MCEV是MDEV的一个特殊情景。 

对于带有options and guarantees 的分红险和万能险来说，我们需要生成1000个或者10000个随机利率情景（在市场中性的假设）来评估MVL，由此算出来的MVL是已经反映了TVFOG的价值。注意到BVL仅仅是在各国监管体系下的准备金金额，在每个利率情景下都是一样的，所以我们有 

对于传统险来说，TVFOG为0，我们只需要一个递归公式来计算MVL；如果负债端有分红险或万能险，那么需要用市场中性下的随机利率模型情景来计算MVL。由此可见，对于分红险或者万能险，我们也有 MDEV = MCEV。 

王晴，北美精算师(FSA)，特许金融分析师(CFA)，本科毕业于中国科技大学，获美国威斯康星大学数学博士学位。

早年曾任职于美国林肯国民公司，美国CNA保险公司，韩国三星人寿，归国后在多家寿险公司任总精算师。

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